אורי שפירא

פרס קריל 2015
טכניון

אורי שפירא

תחומי מחקר :
דינמיקה הומוגנית

כמה מילים על עצמי: את כל לימודי האקדמיים עשיתי באוניברסיטה העברית בירושלים שם סיימתי את
הדוקטורט במתמטיקה בשנת 2010 תחת הנחייתם המשותפת של הלל פירסטנברג וברק ווייס. משם נסעתי לפוסט דוקטורט במכון הטכנולוגי בציריך וחזרתי לטכניון כחבר סגל צעיר בשנת 2012
"דינמיקה" בכלל ו"תורה ארגודית" בפרט הם תחומי מחקר מאוד פופולריים בישראל בעיקר בשל ההשפעה האדירה שיש להלל פירסטנברג, בנג'י ווייס (ותלמידיהם) על תחומים אלו ועיצובם. בשלב מוקדם בלימודי הוקסמתי ונמשכתי לתחומים אלו והיתה לי הזכות ללמוד מהאנשים שאחראים לפיתוחים נרחבים בתורות הללו.על קצה המזלג, התורה הארגודית עוסקת בחקר ההתנהגות האסימפטותית של מערכות דינמיות. במקורההשראה והמערכות שנחקרו היו פיסיקליות אך נקודת המבט המתמטית הרווחת כיום היא אבסטרקטית. לצורך העניין ומ"חוק שינוי בזמן" המכתיב את X מבחינה מתמטית, מערכת דינמית בנויה מ"מרחב" שנסמנו מהמרחב לעצמו, כאשר אם ברגע מסויים אנו עומדים T הדינמיקה, באופן מדוייק חוק שינוי זה הנו העתקה אנו מעוניינים להבין מה קורה בטווחי . T(x) במרחב אז חוק השינוי אומר שברגע הבא נעמוד בנקודה x בנקודה במרחב. סדרת x,T(x),…,T^n(x) מסויימת. כלומר להבין את המיקום של סדרת הנקודות x זמן גדולים לנקודה.x נקודות זו נקראת "המסלול" של
התחום שאני חוקר נקרא "דינמיקה על מרחבים הומוגניים". מדובר במגוון דוגמאות של מערכות דינמיות שמה שמייחד אותן הוא שהמרחב שאותו חוקרים הוא בעל "גיאומטריה אחידה" וכמו כן, כלל ההשתנות בזמן הוא כלל אלגברי. הרבה פעמים המוטיבציה לחקור מערכות כאלו נובעת מכך שלהבנת המערכת יש השלכות על שאלות בתחומים שונים שממבט ראשון לא נראים קשורים כלל למערכת הדינמית שאותה חוקרים. אתאר דוגמה פשוטה ביותר של מערכת דינמית הומוגנית דרכה ניתן לקבל תחושה לגבי המושגים והשאלות כלומר המרחב מורכב מאוסף המספרים הממשיים בין 0 ל 1) וכלל ) X=[0,1] בהם מתעניינים. בדוגמה זו הוא למשל העתקת "כפל ב 2 מודולו 1". הכוונה כאן היא שאם ברגע מסויים אנו T השינוי בזמן או ההעתקה 2 הינו גדול x 2 כאשר אם במקרה המספר x במרחב אז ברגע הבא נהיה ממוקמים בנקודה x ממוקמים בקודה x מ 1 אז יש להחסיר ממנו את החלק השלם שלו. הנה מספר שאלות "דינמיות" שניתן לשאול לגבי מספר במרחב או לגבי המערכת כולה: הנו סופי או לא? x 1. האם קיימים מסלולים סופיים ואם כן, איך להכריע האם המסלול של מספר 2. האם קיימים מסלולים צפופים? האם קיימים מסלולים שאינם צפופים? (מסלול נקרא צפוף אם הוא קטן ככל שיהיה בתוך
הקטע [ 0,1 ]). אם כן, איך להכריע האם המסלול של [a,b] מבקר בכל קטע הנו צפוף או לא? x מספר
3. השאלה הבאה יותר עדינה משאלת הצפיפות אך בכדי לנסחה כראוי דרושות לנו מספר הגדרות:
נסמן את מספר n בתוך הקטע [ 0,1 ], ולכל מספר טבעי J=[a,b] לכל תת קטע ,x לכל .a.c(x,J,n) על ידי J הנמצאות בקטע x הנקודות הראשונות של המסלול של n הנקודות מבין שואף לאינסוף קיים, נקרא לו "שכיחות הביקור n כאשר c(x,J,n)/n אם הגבול של היחס .b."J בקטע x האסימפטוטית של המסלול של [ 0,1 ], שכיחות הביקור J מתפלג בצורה אחידה" אם לכל תת קטע " x נאמר שהמסלול של .c
.J קיימת ושווה לאורכו של J בקטע x האסימפטוטית של המסלול של שאלה: האם קיימים מסלולים שהתפלגותם במרחב היא אחידה? שימו לב שהתפלגותו האחידה של מסלול בפרט מעידה על צפיפותו שכן שכיחות ביקור אסימפטוטית .J בפרט אומרת שהמסלול מבקר ב J חיובית בקטע
הינו מספר רציונלי (הקורא המתעניין יכול להוכיח x סופי אם ורק אם x התשובה לשאלה 1 פשוטה: המסלול של עובדה זו כתרגיל). זו אולי הדוגמה הפשוטה ביותר לקשר ההדוק בין שאלות אריתמטיות בתורת המספרים לבין צפוף או לא x שאלות דינמיות. התשובות לשאלות 2 ו 3 אף הן חיוביות והתשובה לשאלה האם המסלול של לשם דוגמה, ההשערה הבאה .x וכמו כן האם הוא מפולג באופן אחיד מתחבאת בפיתוח הבינארי של המספר אינה ידועה עד היום ונחשבת אחת השאלות הקשות בתחום:
השערה: המסלול של שורש שתיים (מודולו 1) צפוף ולמעשה מפולג באופן אחיד.

● הפילוסופיה מאחורי ההשערה הנ"ל הינה שמספר כמו שורש שתיים שפותר משוואה ריבועית צריך להיות אקראי ביחס לפיתוחו הבינארי שכן אין שום קשר נראה לעין בין פיתוח בינארי לבין פתרון משוואות ממעלה שניה. אסיים בתיאור משפט מפורסם של הלל פירסטנברג הקשור בדוגמה לעיל ובשאלה פתוחה (כלומר שאלהאת העתקת הכפל ב 2 מודולו 1 מהקטע [ 0,1 ] לעצמו. נסמן T שתשובתה לא ידועה עד היום). להלן סימנו ב. את העתקת כפל ב 3 מודולו 1 S באופן דומה ב
הינו צפוף S,T תחת ההעתקות x המסלול המשותף של ,x משפט (פירסטנברג): לכל מספר אירציונלי
●.S ו T של [ 0,1 ] על ידי הפעלות חוזרות ונשנות של J לכל תת קטע x (כלומר ניתן להכניס את
T תחת כלל ההשתנות x או שהמסלול של ,x שאלה פתוחה: האם נכון הדבר שלכל מספר אירציונלי
●מתפלג באופן אחיד. S מתפלג באופן אחיד, או שהמסלול שלו תחת כלל ההשתנות

זוכי פרס קריל

// order posts by year $posts_by_year;