מתמטיקה

עדי שמיר

שייכות בעת הענקת הפרס:

מכון ויצמן למדע, ישראל

נימוק למתן הפרס:

"על תרומותיו החלוציות לקריפטוגרפיה מתמטית".

שותפים לפרס:

עדי שמיר

נוגה אלון

"על תרומותיהם החלוציות לקריפטוגרפיה מתמטית, לקומבינטוריקה ולתיאוריה של מדעי המחשב".

עדי שמיר Adi Shamir (נולד בישראל ב-1952), פרופסור במכון ויצמן במחלקה למדעי המחשב ולמתמטיקה שימושית, מומחה בתחומי הצפנת ופיענוח מידע ומדען בכיר בעל שם עולמי.
מגיל צעיר גילה שמיר עניין במדע והשתתף בתכניות אקדמיות לנוער ובמחנות הקיץ של מכון ויצמן למדע. לאחר שסיים בהצטיינות יתרה את התואר הראשון במתמטיקה באוניברסיטת תל אביב (1973), המשיך שמיר את לימודיו במכון ויצמן, התמקד במדעי המחשב וקיבל תואר שני ב-1975, ולאחריו תואר דוקטור ב-1977. בעבודת הדוקטורט שלו, הוא בחן את תכונותיהן של פונקציות מתמטיות מסוימות שהן רלוונטיות לסמנטיקה של שפות תכנות. לאחר השלמת הדוקטורט, עבר לאוניברסיטת ווריק באנגליה ואחר כך המשיך במסעו האקדמי במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT) בארה"ב, שם התעמק בתורת ההצפנה ותורת הפענוח.
בשיטות ההצפנה המסורתיות נדרש מפתח מסוים גם כדי להצפין מסר וגם כדי לקרוא אותו. החולשה העיקרית בשיטות הצפנה מאובטחות אלה הוא הצורך בהפצת המפתח. מדענים ניסו למצוא שיטת הצפנה שבה יוכל כל אחד להצפין מסר בלי צורך במפתח אך רק בעל המפתח יוכל לפענח אותו. יחד עם שותפיו ב- MIT – רון ריבסט ולאונרד אדלמן, הם הגיעו לפריצת דרך ומצאו שיטת הצפנה במפתח פומבי- הם זיהו פונקציה מתמטית חד כיוונית- פונקציה שאי אפשר לשחזר את נקודת המוצא שלה לאחר פתרונה, המבוססת על הכפלתם של שני מספרים ראשוניים.
לשיטה החדשה ניתן השם RSA על שם ראשי התיבות של ריווסט, שמיר ואדלמן. בשל חשיבותה העצומה היא עוררה גם את עניינם של מתמטיקאים, של חברות, של ממשלות ושל ארגוני ביון. עם העלייה בחשיבות תקשורת המחשבים ופריצת האינטרנט, והיא מיושמת כמעט בכל העסקאות המקוונות כדי להגן על מידע סודי כמו מספרי כרטיסי אשראי. כדי להגן על המידע, השיטה משתמשת בשני מפתחות שונים המקושרים מתמטית- מפתח ציבורי שמשמש להצפנת ההודעה ומפתח פרטי ושונה לחלוטין המשמש לפיענוחה.
בין שלל תרומותיו הנוספות לאבטחת מידע, הציג שמיר את שיטת "חלוקת הסודות" פורצת הדרך. שיטה זו הופכת סודות לאוסף של מספרים אקראיים, המחייבת שילוב ספציפי כדי לשחזר את הסוד המקורי, והיא מהווה את הבסיס לחישובים מאובטחים. בשיתוף פעולה עם עמיתים, הוא קידם שיטות הזדהות וחתימה המבוססות על הוכחות אפס מידע והגה את "חתימת הטבעת" להצפנת מידע ופענחו בתוך קבוצה מוגדרת של משתתפים. כושר ההמצאה של שמיר התרחב להצפנת שידורי טלוויזיה, ואיפשר שידורים מוצפנים אך ורק למי ששילמו בעבורם. בשנים האחרונות מחקרו התעמק בפונקציות T, שהנן פונקציות מתמטיות מורכבות להצפנת מידע.

ההשפעה של שמיר משתרעת גם על חשיפת נקודות תורפה במערכות הצפנה, פיתוח שיטות מתמטיות כלליות שמשמשות לתקיפה ישירה של מערכות הצפנה וכן לתקיפה עקיפה על יישומי חומרה ותוכנה של צפנים. מעבר לאבטחת מידע, תרומותיו מהדהדות בנושאי ליבה רבים במדעי המחשב, ובפרט בתורת המורכבות החישובית.
עדי שמיר זוכה בפרס וולף במתמטיקה, על היותו מדען יוצא דופן, אשר היה הכוח המוביל בהפיכת הקריפטוגרפיה לדיסציפלינה מדעית, המבוססת במידה רבה על מתמטיקה. לתגליותיו, המשלבות כושר המצאה מתמטי עם מגוון כלים אנליטיים, השפעה עצומה על תחומים מתמטיים רבים, והן קידמו את המתמטיקה ופיתוחה של החברה האנושית באופן חסר תקדים.

נוגה אלון

שייכות בעת הענקת הפרס:

אוניברסיטת פרינסטון, ארה"ב

נימוק למתן הפרס:

"על תרומותיו הבסיסיות לקומבינטוריקה ולתיאוריה של מדעי המחשב".

שותפים לפרס:

נוגה אלון

עדי שמיר

"על תרומותיהם החלוציות לקריפטוגרפיה מתמטית, לקומבינטוריקה ולתיאוריה של מדעי המחשב".

נוגה אלון Noga Alon (נולד בישראל, 1956) הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת פרינסטון ופרופסור אמריטוס למתמטיקה ומדעי המחשב באוניברסיטת תל אביב, מחשובי החוקרים בעולם בתחום הקומבינטוריקה. מחקריו ופיתוחיו שינו את פני התחום, יצרו מושגים חדשים ושיטות מקוריות, ותרמו רבות לפיתוח המחקר התיאורטי ויישומיהם במתמטיקה בדידה, בתורת האינפורמציה, בתורת הגרפים, ובשימושיהם בתאוריה של מדעי המחשב. הוא אחד המתמטיקאים הפוריים בעולם, פרסם מאות מאמרים והעמיד תלמידי מחקר רבים במתמטיקה ובמדעי המחשב. ספרו "השיטה ההסתברותית" (בשיתוף עם ג'ואל ספנסר) הופיע ב 4 מהדורות. הרביעית (2016) מכילה 50 אחוז יותר חומר מהראשונה (1992), וכל המהדורות זכו להצלחה רבה בקרב החוקרים במתמטיקה בדידה, עם אלפי ציטוטים.
אלון גילה עניין עמוק במתמטיקה ופתרון חידות מתמטיות מגיל צעיר, הוא נמשך לאובייקטיביות שבה ולחתירה לאמת אבסולוטית; אל הקסם של המתמטיקה המתבטא בקשרים בלתי צפויים בין תחומים שונים, בהוכחות קצרות ואלגנטיות, בוודאות המוחלטת הנובעת מנכונותה של הוכחה ובאתגר האינטלקטואלי במציאתה. את אהבתו למתמטיקה מימש בעידודם של הוריו ומורו למתמטיקה בתקופת התיכון, השתתף וזכה בתחרויות רבות.

אלון סיים בהצטיינות יתרה את לימודי התואר הראשון במתמטיקה בטכניון, והמשיך ללימודי תואר שני בתורת הגרפים ופיתח נוסחה לחישוב מקורב של מספר העותקים המרבי של גרף כלשהו בגרף בעל מספר נתון של קשתות. בעבודת הדוקטור באוניברסיטה העברית בירושלים (1983), המשיך אלון לעסוק בבעיות קיצון קומבינטוריות שלהן שימושים בשטחים רבים כמו הנדסה, מדעי המחשב ותקשורת מחשבים. לאחר הדוקטורט יצא אלון להשתלם במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, MIT, בארה"ב. במחקריו המשיך לעסוק בעיקר בקומבינטוריקה, ושיתף פעולה עם המתמטיקאי ההונגרי הנודע פאול ארדש, אשר השפיע מאוד על כיווני המחקר שלו והניבו במשך השנים כמה מאמרים משותפים. אלון היה שותף למחקרים רבים במעבדות המחקר החשובות בעולם, ביניהם, הרווארד, המכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון, מרכז המחקר IBM Almaden , מעבדות בל, בלקור ומחקר במייקרוסופט (ברדמונד ובישראל). ב-1985 הצטרף לאוניברסיטת תל אביב, שם כיהן כראש בית הספר למתמטיקה. ב-2018 עבר לאוניברסיטת פרינסטון שם הוא ממשיך לעבוד עד היום. אלון הנחה עשרות סטודנטים לדוקטורט, הוא מכהן במערכות של יותר מתריסר כתבי עת בינלאומיים. פרופסור אלון נשא מאות הרצאות מוזמנות והרצאות מליאה בכנסים ברחבי העולם, היה ראש הוועדה המדעית של הקונגרס העולמי למתמטיקאים (מדריד, 2006) וחבר בוועדות פרסים יוקרתיים בעולם. הוא פרסם יותר משש מאות מאמרי מחקר וספר אחד.
קומבינטוריקה היא המתמטיקה של מבנים סופיים, ויש לה חשיבות עליונה בשטחים רבים במתמטיקה ובמדעי המחשב. רוב רובם של האלגוריתמים המשמשים בתכנות מחשבים, בתקשורת מחשבים ואפילו בטיפול במידע ביולוגי מבוססים על שיטות קומבינטוריות. פרופ' אלון עוסק במתמטיקה בדידה ובמדעי המחשב תוך התמקדות בקומבינטוריקה ובתורת הגרפים ובשימושיהם בתיאוריה של מדעי המחשב. עבודותיו הרבות בתחום שינו את פני הקומבינטוריקה המודרנית והכניסו מושגים, מבנים ושיטות חשובות לתחום. הוא הוכיח את ה- Combinatorial Nullstellensatz, טכניקה אלגברית רבת עוצמה שהניבה יישומים משמעותיים ביותר בתורת הגרפים וקומבינטוריקה, כולל הרחבה של משפט ארבעת הצבעים, והכללות של משפט קושי-דאוונפורט בתורת המספרים האדיטיבית.
פרופ' אלון הוא המדען המוביל בשיטה ההסתברותית במתמטיקה בדידה. ספרו שכתב עם ג'ואל ספנסר הוא ללא עוררין הטקסט המוביל בתחום מרכזי זה. בשיטה ההסתברותית משתמשים באקראיות – ברנדומיזציה – ככלי עזר לחקור גם בעיות שאין בהן מרכיב הסתברותי, ופרופ' אלון מצא שימושים מורכבים ומפתיעים לשיטה זו. למשל, בעבודה עם מטיאס ועם סגדי מצאו החוקרים דרך לטיפול יעיל בכמויות אדירות של מידע שאין אפשרות לאכסן אותו .הצד השני של המטבע בשיטה ההסתברותית הוא הדה-רנדומיזציה: התורה המנסה לתת בניות מפורשות שיחליפו שיטות הסתברותיות במתמטיקה ובמדעי המחשב. פרופ' אלון תרם תרומות חשובות לבניות מפורשות ולתחום הדה-רנדומיזציה; בין השאר הוא פיתח שיטות לבניית מרחבי מדגם קטנים התומכים במשתנים כמעט בלתי-תלויים. דוגמאות שמצא לפתרון בעיות שונות מפתיעות ביופיין ובעומקן.
אלון פיתח את "השיטה הפולינומיאלית" – כלי אלגברי רב עוצמה, בעל שימושים רבים בקומבינטוריקה, בתורת הגרפים, בתורת המספרים האדיטיבית ובתורת האינפורמציה. לשיטה זו המבוססת על הבנת מבנים קומבינטוריים באמצעות מרחבים של פולינומים המתאימים להם, מצא אלון שימושים מפתיעים בבעיות צביעה של גרפים, בבעיות קיצוניות הנוגעות לגרפים ולהיפר-גרפים ובבעיות בתורת המספרים החיבורית. אלון השתמש בכלי זה לפתרון בעיה שהעלה קלוד שאנון, אבי תורת האינפורמציה, והטרידה את המדענים במשך יותר מחמישים שנה. בניגוד להשערתו של שאנון הראה אלון שהקיבולת של צירוף שני ערוצים יכולה להיות גדולה בהרבה מסכום הקיבולות של כל ערוץ בנפרד. בעבודה משותפת עם קלייטמן, פתר אלון את הבעיה של הדוויגר ודברונר בגיאומטריה קומבינטורית שעמדה פתוחה כחמישים שנה, מה שהוכיח הכללה מרחיקת לכת של משפט הלי. פרופ' אלון פיצח בעיות חשובות שעמדו פתוחות עשרות שנים גם בתורת הגרפים ובתורת רמזי.
שיטת הקידוד בצבעים שפיתח יחד עם יוסטר וזוויק, מצאה יישומים בכמה תחומים אחרים, כולל התיאוריה של עקיבות פרמטרים קבועים (Fixed Parameter Tractability) וביואינפורמטיקה. עבודתו המשותפת עם מטיאס וסזגדי יזמה את המחקר של אלגוריתמי סטרימינג הבודקים אילו מאפיינים סטטיסטיים של נתונים של סטרימנינג ניתן לדגום ולהעריך תוך כדי תנועה. מחקרו זה הווה את הבסיס לתחום פורץ הדרך של אלגוריתמי סטרימינג ואלגוריתמי שרטוטים ויש לו יישומים תיאורטיים ויישומיים מעשיים רבים.
מחקריו של אלון תרמו משמעותית להבנת תכונות ספקטרליות ותכונות הרחבה של גרפים ולשימושים של גרפים מרחיבים במתמטיקה ובמדעי המחשב. אלון חלוץ ביישום שיטות ספקטרליות בחקר בעיות אלגוריתמיות והקשר שהוא מצא, בשיתוף עם ויטאלי מילמן, בין תכונות הפרדה לתכונות ספקטרליות של גרפים עוררו מחקר רב והן מצוטטות בכל העבודה הנרחבת שבאה לאחר מכן בתחום.
יחד עם שותפיו פיתח אלון גרסה אלגוריתמית ללמת הרגולריות של סמרדי Szemerédi , גילה את הקשר שלה לאי-שוויון קלאסי של גרותנדיק, והשתמש בה כדי ליישב בעצם את כל הבעיות הפתוחות העיקריות בתיאוריה של בדיקת מאפיינים עבור גרפים צפופים. עבודה זו פתחה מחקר נרחב ומילאה תפקיד חשוב בפיתוח שלאחר מכן של התיאוריה של רצפי גרפים מתכנסים על ידי לובאסז ושותפיו.
פרס וולף מוענק לנוגה אלון על השפעתו העמוקה על מתמטיקה בדידה ותחומים קשורים נוספים. תרומותיו המכוננות כוללות פיתוח טכניקות גאוניות בקומבינטוריקה, תורת הגרפים ותיאוריה של מדעי המחשב, ופתרון בעיות ארוכות שנים בתחומים אלה וכן בתורת המספרים האנליטית, גיאומטריה קומבינטורית ותורת המידע.

אינגריד דובשי

שייכות בעת הענקת הפרס:

אוניברסיטת דיוק, ארה"ב

נימוק למתן הפרס:

"על עבודתה בתיאוריית wavelet ואנליזה של הרמוניה יישומית".

שותפים לפרס:

ללא שותפים

פרופסור אינגריד דובשי היא מתמטיקאית ופיזיקאית בלגית מאוניברסיטת דיוק בדורהם, צפון קרוליינה. דובשי למדה את התואר הראשון שלה בפיזיקה באוניברסיטה החופשית של בריסל (1975). לאחר מכן המשיכה את מחקריה באותה אוניברסיטה וקיבלה את הדוקטורט שלה בפיזיקה עם תזה בנושא של: הצגה של אופרטורים קוונטיים על ידי גרעינים במרחבי הילברט של פונקציות אנליטיות.

אהבתה של אינגריד דובשי למתמטיקה ומדעים החלה בגיל צעיר. אביה טיפח את סקרנותה והתעניינותה בנושאים אלה בזמן שלמדה בבית הספר. כילדה, היא הוקסמה מהמנגנונים מאחורי פעולת המכונות ומהאמת שמאחורי מושגים מתמטיים. כשלא יכלה לישון, הייתה מחשבת חזקות בראשה, נשבית בקסמי המספרים הגדלים במהירות.

דובשי תרמה תרומה משמעותית לתחום תיאוריית ה- Wavelet (המכונים בעברית אדוות או גלונים). המחקר שלה חולל מהפכה בדרך שבה מעובדות תמונות ואותות באופן מספרי, ומספקות אלגוריתמים סטנדרטיים וגמישים לדחיסת נתונים. עבודתה הובילה למגוון רחב של חידושים בטכנולוגיות שונות, כולל הדמיה רפואית, תקשורת אלחוטית ואפילו קולנוע דיגיטלי.
תורת ה- Wavelet, אותה ביססה, הפכה לכלי מכריע בתחומים רבים של עיבוד אותות ותמונה. כגון: לשיפור ושחזור תמונות מימיו הראשונים של טלסקופ האבל, לזיהוי מסמכים מזויפים וטביעות אצבעות. בנוסף, Wavelets מהווים מרכיב חיוני בתקשורת אלחוטית ומשמשים לדחיסת רצפי סאונד לקובצי MP3.
מעבר לתרומתה המדעית, פרופסור דובשי דוגלת ופעילה נמרצות למען שוויון הזדמנויות בחינוך מדעי ומתמטי, במיוחד במדינות מתפתחות. כנשיאת האיגוד הבינלאומי למתמטיקה, היא פעלה רבות לקידום מטרה זו. היא מודעת לחסמים שעומדות בפני נשים בתחומים אלה ופועלת להדרכת מדעניות צעירות ולהגברת הייצוג וההזדמנויות עבורן.

התרומה החשובה ביותר של דובשי היא ההצגה, בשנת 1988, של בסיסי Waveles אורתונורמליים חלקים בעלי תומך קומפקטי. בסיסים אלה חוללו מהפכה בעיבוד האותות, והובילו לשיטות יעילות ביותר לדיגיטציה, אחסון, דחיסה וניתוח נתונים, כגון אותות אודיו ווידאו, טומוגרפיה ממוחשבת והדמיית תהודה מגנטית. התומך הקומפקטי של Waveles אלו אפשר לבצע עיבוד ספרתי של אות באופן התלוי לינארית באורכו. זה היה מרכיב קריטי עבור חוקרים ומהנדסים בתחום עיבוד האותות, שאפשר לפרק במהירות אות לתרומות בקני מידה שונים.
בעבודה משותפת מאוחרת יותר, עם A. Cohen ו- J.C. Feauveau , הציגה דובשי בסיסי wavelets ביו-אורתוגונליים סימטריים, המוותרים על האורתונורמליות לטובת סימטריה. בסיסים שכאלה מתאימים הרבה יותר לטיפול באי-רציפויות הנובעות מקצותיהם של אותות באורך סופי מה שמביא לשיפור איכות התמונה. ה- wavelets הביו-אורתוגונליים שפיתחה הפכו לבסיס למערכת JPEG 2000 המשמשת לדחיסה וקידוד של תמונות.
באופן עצמאי, ובשיתוף פעולה עם א. גרוסמן וי. מאייר, פיתחה דובשי בהרחבה את התיאוריה והיישום של מסגרות. מסגרות הן הכללה של בסיסים המאפשרת יתירות מבוקרת בייצוג האותות. יתירות כזו פרושה גמישות רבה לאין ערוך בייצוג האותות כמו גם הסרה יעילה של רעשים.

פרס וולף מוענק לאינגריד דובשי על עבודתה ביצירה ובפיתוח של תיאוריית ה- Wavelet וניתוח מודרני של מרחב תדר-זמן. תגליתה של Waveles חלקים, בעלי תומך קומפקטי, ופיתוח של Waveles דו-אורתוגונליים שינו את שיטות העיבוד והסינון של תמונות ואותות. לעבודתה חשיבות עצומה בדחיסת תמונה, הדמיה רפואית, חישה מרחוק וצילום דיגיטלי. דובשי תרמה תרומות שאין להן מקבילות לפיתוח יישומים ולניתוח הרמוני בעולם האמיתי, תוך הצגת טכניקות מתוחכמות של עיבוד תמונה המשרתות מגוון רחב של תחומים החל מאמנות ועד ביולוגיה אבולוציונית ומעבר לכך.

ג'ורג' לוסטיג

שייכות בעת הענקת הפרס:

המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, ארה"ב

נימוק למתן הפרס:

"על תרומותיו פורצות הדרך לתורת הייצוג ולתחומים קשורים".

שותפים לפרס:

ללא שותפים

לוסטיג, מתמטיקאי אמריקאי יליד רומניה, אשר נודע בתרומותיו לתורת ההצגות הגיאומטריות, במיוחד של חבורות סופיות מצמצמות (רדוקטיביות) ושל חבורות אלגבריות. עבודתו של לוסטיג מאופיינת ברמה גבוהה מאוד של מקוריות, רוחב עצום של נושאים, וירטואוזיות טכנית מרשימה והעמקה רבה בהגעה ללב הבעיות הכרוכות בכך. תרומותיו פורצות הדרך של לוסטיג מסמנות אותו כאחד המתמטיקאים הגדולים של זמננו.

תשוקתו של לוסטיג למתמטיקה החלה בגיל צעיר. למעשה, תחרויות מתמטיקה בבית הספר הן שגרמו לו להבין שהוא מוכשר במתמטיקה. כשהיה בכיתה י', לוסטיג ייצג את רומניה באולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית בשנים 1962 ו- 1963, וזכה במדלית כסף בשתי התחרויות.

לוסטיג סיים את לימודיו באוניברסיטת בוקרשט בשנת 1968. התואר השני והדוקטורט הוענקו לו ע"י אוניברסיטת פרינסטון בשנת 1971, בהנחייתם של מייקל אטייה וויליאם בראודר. הוא הצטרף לפקולטה למתמטיקה של MIT בשנת 1978, לאחר כהונה כפרופסור באוניברסיטת וורוויק בשנים 1974-1977. הוא קיבל מינוי לקתדרה על שם נורברט ווינר ב-MIT בשנים 1999-2009.

לוסטיג ידוע בעבודתו על תורת ההצגות, בפרט על האובייקטים הקשורים קשר הדוק לחבורות אלגבריות, כגון חבורות רדוקטיביות סופיות, אלגבראות Hecke, חבורות P-אדיות, חבורות קוונטיות וחבורות ווייל. לוסטיג למעשה סלל את הדרך לתורת ההצגות המודרנית. זה כלל מושגים בסיסיים חדשים, כולל אלומות (sheaves) קרקטרים, אלומות "Deligne-Lusztig" והפולינומים של "Kazhdan-Lusztig".

פריצת הדרך הראשונה של לוסטיג היתה עם דלין (Deligne) בסביבות 1975, עם בניית השערת  "Deligne-Lusztig". לאחר מכן השיג לוסטיג תיאור מלא של ההצגות האי-פריקות של חבורות רדוקטיביות מעל שדות סופיים. התיאור של לוסטיג לטבלת הקרקטרים של חבורות רדוקטיביות סופיות נחשב כאחד ההישגים יוצאי הדופן של מתמטיקאי בודד במאה ה- 20. כדי להשיג את מטרתו, לוסטיג פיתח מגוון של טכניקות, שנמצאות בשימוש היום על ידי מאות מתמטיקאים. הבולטות כוללות את השימוש ב- étale cohomology; התפקיד שממלאת החבורה הדואלית; השימוש בקוהומולוגית חיתוכים, ובעקבותיה התיאוריה של אלומות קרקטרים וכמעט דמויות, והתמרת פורייה הלא-קומוטטיבית.

ב 1979- הגדירו קשדן ולוסטיג את הבסיס של "קשדן-לוסטיג" עבור אלגברת Hecke של חבורת Coxeter וניסחו את השערת "קשדן-לוסטיג". השערת "קשדן-לוסטיג" הובילה ישירות למשפט הלוקליזציה של "בילינסון-ברנשטיין", שארבעה עשורים מאוחר יותר, נותר הכלי החזק ביותר שלנו להבנת הצגות של אלגבראות Lie רדוקטיביות. עבודתו של לוסטיג עם Vogan הציגה אחרי-כן גרסה של אלגוריתם "קשדן-לוסטיג" לייצור פולינומים של "Lusztig-Vogan". פולינומים אלה הם בסיסיים להבנתנו של חבורות רדוקטיביות ממשיות וההצגות היוניטריות שלהן.

בשנות ה-90, לוסטיג תרם תרומה חלוצית לתורת החבורות הקוונטיות. תרומותיו כוללות את הכנסת הבסיס הקנוני; הכנסת תבנית לוסטיג (המאפשרת התמחות לשורש יחידה וקישורים להצגות מודולריות); העתקת פרובניוס קוונטית וחבורה קוונטית קטנה; וקשרים לתורת ההצגות של אלגבראות Lie אפיניות. תורת הבסיס הקנוני של לוסטיג (והתיאוריה המקבילה של קשיווארה על בסיסי גבישים) הובילה לתוצאות עמוקות בקומבינטוריקה ובתורת ההצגות. לאחרונה חלה התקדמות משמעותית בתורת ההצגות ובטופולוגיה במימד נמוך באמצעות קטגוריזציה; שורשיה של עבודה זו נעוצים בסיווג הגיאומטרי ע"י לוסטיג של חבורות קוונטיות באמצעות אלומות פרוורטיות על מודולי דיאגרמות חיצים QUIVER.