מתמטיקה

אלכסנדר ביילינסון

ולדימיר דרינפלד

"מבנה אלגברי" הוא קבוצה של עצמים, כולל הפעולות שניתן לבצע על אותם עצמים, המצייתות לאקסיומות מסוימות; אחד מתפקידי האלגברה המודרנית הוא לחקור – באופן הכללי והמופשט ביותר האפשרי – את תכונותיהם של מבנים אלגבריים שונים (כולל עצמיהם), שרבים מהם מסובכים להפליא.

אלכסנדר ביילינסון, יליד מוסקבה (1957), זכה (יחד עם עמית) ב-1999 בפרס אוסטרובסקי, המוענק על הישגים יוצאי דופן במתמטיקה, וב-2017 נבחר לאקדמיה הלאומית למדעים של ארצות הברית. עם הישגיו הבולטים נמנים הוכחות להשערות קשדן-לוסטיג ויאנצן, הממלאות תפקיד מפתח בתורת ההצגות, פיתוח השערות חשובות ("השערות ביילינסון") בגיאומטריה אלגברית ותרומה משמעותית לממשק בין הגיאומטריה והפיזיקה המתמטית. עבודתם המשותפת של ביילינסון וולדימיר דרינפלד על "תוכנית לנגלנדס" – מארג של משפטים והשערות שנועד לקשר בין תחומים מרכזיים במתמטיקה – הובילה להתקדמות מרשימה ביישום התוכנית בתחומים חשובים בפיזיקה, כמו תורת השדות הקוונטית ותורת המיתרים.

דרינפלד וביילינסון יצרו יחדיו מודל גיאומטרי של תיאוריה אלגברית הממלאת תפקיד מפתח הן בתורת השדות והן בתורת המיתרים הפיזיקליות, ובכך הידקו עוד יותר את הקשרים בין המתמטיקה המודרנית המופשטת לפיזיקה. הם פרסמו את עבודתם במשותף בספר שראה אור ב-2004 המתאר מבנים אלגבריים חשובים המשמשים בתורת השדות הקוונטית, שהיא מצדה הבסיס התיאורטי לפיזיקת החלקיקים של ימינו. חיבור זה הפך מאז לספר העיון הבסיסי בנושא מורכב זה.

ריצ'רד שיין

צ'רלס פפרמן

ריצ'רד שיין (Richard Schoen) מהווה חלוץ, מוביל ומפלס דרך באנליזה גיאומטרית. לעבודתו על רגולריות של העתקות הרמוניות ומשטחים מינימליים היתה השפעה מתמשכת על התחום. פתרונו לבעיית ימאבה (Yamabe) מבוסס על הגילוי של קשר עמוק לתורת היחסות הכללית. באמצעות עבודתו על אנליזה גיאומטרית, שיין תרם רבות להבנתנו של הקשרים ההדדיים בין משוואות דיפרנציאליות חלקיות וגיאומטריה דיפרנציאלית. מספר רב של טכניקות אותן פיתח ממשיכות להשפיע עוד היום על ההתפתחות של אנליזה לא-לינארית.

צ'רלס פפרמן

ריצ'רד שיין

צ'רלס פפרמן (Charles Fefferman) תרם רבות למספר תחומים, בהם אנליזה מורכבת במספר משתנים, משוואות דיפרנציאליות חלקיות ובעיות תת-אליפטיות. הוא פיתח טכניקות יסודיות באנליזה הרמונית, ויישם אפליקציות של טכניקות אלה במגוון תחומים, ביניהם דינמיקת נוזלים, גיאומטריה ספקטרלית ופיזיקה מתימטית. למחקרו היתה השפעה גדולה על שאלות הקשורות לרגולריות של משוואות קלאסיות כגון משוואת נאוויה-סטוקס (Navier-Stokes) ומשוואת אויילר (Euler). הוא פתר בעיות חשובות הקשורות למבנה הדק של פתרונות למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.

מייקל ארטין

ג'ורג' ד. מוסטו 

פרופסור מייקל ארטין (יליד 1934, גרמניה) הוא אחד האדריכלים העיקריים של הגיאומטריה האלגברית המודרנית. תרומותיו היסודיות מקיפות מספר מדהים של תחומים במדע זה. ראשית, התיאוריה של קוהומולוגיית אטל הוצגה על ידי מישל ארטין במשותף עם אלכסנדר גרותנדיק. החזון שלהם הביא ליצירתו של אחד מהכלים החיוניים של הגיאומטריה האלגברית המודרנית. באמצעות קוהומולוגיית אטל הראה ארטין כי הסופיות של קבוצת בראוור של משטח הבנוי מעקומות זהה להשערת בירץ' וסווינרטון-דייר לגבי היעקוביאן של סיב כללי. במאמר מקורי מאוד הוכיחו ארטין וסווינרטון-דייר את ההנחה של משטח K3 אליפטי.

הוא גם שיתף פעולה עם בארי מזור בהגדרת הומוטופיית אטל – כלי חשוב נוסף בגיאומטריה אלגברית – ובאופן כללי יותר ביישום רעיונות הגיאומטריה האלגברית בחקר דיפאומורפיזמים של יריעה קומפקטית.

אנו חבים למייקל ארטין במידה רבה גם את הגילוי של מרחבים אלגבריים וערמות אלגבריות. אובייקטים אלה הם הקטגוריה המתאימה למרבית המבנים האלגבריים-גיאומטריים, וקטגוריה זו מופיעה בכל מקום בתיאוריית המודולים ובתיאוריית הצומת המודרנית. ארטין גילה סדרה פשוטה של תנאים לייצוג פונקטור במרחב אלגברי. "משפט הקירוב" ו"משפט הקיום" הם נקודות המוצא של המחקר המודרני על בעיות מודולים. התרומות של ארטין לתיאוריה של נקודות שטח סינגולריות הן בעלות חשיבות עליונה. בתיאוריה זו הוא הציג מספר מושגים שהפכו באופן מיידי למכוננים בתחום, כגון מושגים של סינגולריות רציונלית ומחזור יסודי.

בדוגמה נוספת לחשיבתו המקורית הרבה הרחיב ארטין את תחום עיסוקו כדי להניח יסודות איתנים לתורת העיוותים. זהו אחד מהכלים העיקריים של הגיאומטריה האלגברית הקלאסית, אשר מהווה את הבסיס לתיאוריה המקומית של מודולים של זנים אלגבריים.

לבסוף, תרומתו לאלגברה שאינה קומוטטיבית הייתה עצומה. כל התחום השתנה לאחר שארטין הציג שיטות אלגבריות-גיאומטריות בענף מדעי זה. אפיון אלגבראות אזומיה על ידיו במונחים של זהויות פולינומיות, המהווה את תוכנו של משפט ארטין-פרוצזי, הוא אחד מאבני היסוד באלגברה שאינה קומוטטיבית.

ג'ורג' ד. מוסטו 

מייקל ארטין

פרופסור ג'ורג' ד. מוסטו (יליד 1923, ארה"ב) תרם תרומה מהותית וחלוצית לגיאומטריה ולתיאוריית חבורת לי. הישגו המפורסם ביותר בתחום זה הוא הגילוי של תופעת הנוקשות החדשה לחלוטין בגיאומטריה: משפטי הקשיחות החזקה. משפטים אלה הם חלק מההישגים הגדולים ביותר במתמטיקה במחצית השנייה של המאה ה-20. הדבר יצר חיבור עמוק בין חבורות רציפות ובדידות, או באופן שקול, חיבור יוצא דופן בין טופולוגיה וגיאומטריה. שיטות וטכניקות הקשיחות של מוסטו הובילו לשפע של חקירות ותוצאות בתחומים נלווים רבים של המתמטיקה. הדגש של מוסטו על "פעולה באינסוף" פותח על ידי מתמטיקאים רבים במגוון כיוונים. היתה לכך השפעה עצומה על תורת החבורות הגיאומטריות, על המחקר של קבוצות קלייניאניות, ועל הטופולוגיה של מספר ממדים קטן, בעבודה המחברת את התורה הארגודית עם חבורות לי. תרומתו של מוסטו למתמטיקה אינה מוגבלת למשפטי הקשיחות החזקה. עבודתו על חבורות לי ותת-החבורות הבדידות שלהן שבוצעה במהלך השנים 1948-1965 הייתה בעלת השפעה עצומה. עבודתו של מוסטו על דוגמאות של סריגים שאינם אריתמטיים במרחבים היפרבוליים מורכבים בשניים ושלושה ממדים (בשיתוף פעולה חלקי עם פ. דליניה) היא מבריקה, והובילה להתפתחויות רבות וחשובות במתמטיקה. עבודתו של מוסטו כוללת מגוון מסחרר של תחומים מתמטיים. מתמטיקאים מעטים יכולים להתחרות עם רוחב היריעה, העומק והמקוריות של עבודותיו.

לואיס א. קפארלי

מייקל אשבאכר

לואיס א. קפארלי (יליד 1948, ארגנטינה) היו מספר פריצות דרך מעמיקות מאוד. בעבודתו המוקדמת על בעיות שפה חופשית החלו להתגלות כישרונו והאינטואיציה היוצאת דופן שלו. בעיות שפה חופשית עוסקות הן במציאת פתרון למשוואה והן במציאת תחום קיומה של המשוואה. בסדרת עבודות חלוציות, פרופ. קפארלי הציג מתודולוגיה חדשה המובילה לבסוף, לאחר מספר הערכות טכניות מדהימות המשפרות צעד אחר צעד את רגולריוּת הפתרון והשפה, לרגולריות מלאה תחת הנחות חלשות למדי. למרות שהתיאוריה מסובכת, הטיעונים המתמטיים הם אלמנטאריים ומלאי אינטואיציה גיאומטרית יפה ושליטה מוחלטת בטכניקות אנליטיות.

תרומה יסודית שנייה של פרופ. קפארלי היא בחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות אליפטיות לא-לינאריות לחלוטין (כולל משוואת מונז'-אמפּר המפורסמת), שבו פרופ. קפארלי חולל מהפכה. התוצאה היא, שלמרות שהמשוואות הן לא-לינאריות, לצורכי הרגולריוּת הן מתנהגות כאילו הן לינאריות (עבודותיהם של נירנברג, ספּרוּק, אוונס, קרילוב ואחרים מילאו גם הן תפקיד משמעותי כאן).

תרומה בסיסית נוספת של פרופ. קפארלי היא עבודתו המשותפת עם קוהן (Kohn) ונירנברג על רגולריוּת חלקית של הפתרונות של משוואת נאווייר (סטוקסNavier-Stokes) הבלתי דחיסה במרחב תלת-ממדי. למרות שהרגולריות המלאה של הפתרונות אינה ידועה עדיין ומציאת תשובה כנראה קשה מאד, קפארלי-קוהן-נירנברג הוכיחו שהקבוצה הסינגולארית חייבת להיות בעלת ממד האוסדורף פרבולי, קטן ממש מ-1. בפרט, סיבים סינגולאריים אינם יכולים להופיע (קרדיט חלקי מגיע גם ל-ו. שפר).

לפרופ. קפארלי גם עבודות מעמיקות על הומוגניזציה ועל משוואות עם פיזור לא-מקומי. פרופ. קפארלי הוא כיום המומחה המוביל בעולם בתחום רגולריות הפתרונות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות.

עבודותיו של פרופ. לואיס קפארלי על משוואות דיפרנציאליות חלקיות הן בעלות חזון רב. משוואות דיפרנציאליות חלקיות הן המשוואות שבהן הנעלם הוא פונקציה המתארת התפתחות תהליך בזמן, כגון התפלגות טמפרטורה או תנועת נוזלים. מספר חוקי יסוד בטבע, וכמה מהבעיות החשובות במתמטיקה, ניתנים לביטוי כמשוואות דיפרנציאליות חלקיות.

שינג-טונג יאו

דניס סאליבן 

שינג-טונג יאו (נולד ב-1949, סין) פרץ כיוונים חדשים לחלוטין בקשרים שבין משוואות דיפרנציאליות חלקיות, גיאומטריה ופיסיקה מתמטית. בכך תרם לעיצוב מחודש של אנליזה גיאומטרית. הוא פיתח כלים חדשים לטיפול במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-ליניאריות מטיפוס Monge-Ampère. השיטות שפיתח הוכחו כבעלות חשיבות מכרעת להתקדמות בחקר גיאומטרית רימאן, קהלר, כמו גם בגיאומטריה אלגברית ובטופולוגיה אלגברית, והביאו לשינויים רדיקליים בשטחים אלה. היריעות הידועות כיריעות Calabi-Yau, שהן מחלקה מיוחדת של יריעות קהלר, הפכו לאבן-יסוד בתורת המיתרים, התורה המנסה לבאר כיצד פעולת כוחות פיסיקליים במרחב רב-מימדי מעצבת את עולם "מרחב-זמן" שלנו. עבודתו על "דואליות- T" מהווה מרכיב חשוב בהבנת "סימטריית המראה"—בעיה יסודית המגשרת בין תורת המיתרים וגיאומטריה אלגברית וסימפלקטית. פתרונותיו להשערות "המאסה החיובית" האנרגיה בתורת היחסות הכללית העניקו כלים אנליטיים רבי משקל בשימושים נרחבים בחקר הגיאומטריה הגלובאלית של מרחב-זמן. עבודותיו על ערכים עצמיים והערכות של גרעין החום על יריעות רימאניות הן מהעמוקות ביותר בתחום האנליזה על יריעות. הוא חקר משטחים מינימליים ופתר כמה בעיות קלאסיות. שיטותיו בתחום זה שימשו אותו ביצירת גישה חדשנית לגיאומטריה טופולוגית. במשך עשרות שנים, הייתה עבודתו פורייה מאוד ובעלת השלכות רבות במתמטיקה עיונית ושימושית, כמו גם בפיסיקה עיונית.

תרומותיו היסודיות בשטחים כה רבים שימשו ומשמשות מקור השראה לדורות של מתמטיקאים. בנוסף, הוא טבע את חותמו על המחקר המתמטי בעולם כולו באמצעות הנחיית מספר רב של תלמידי מחקר וכינונם של מוסדות מחקר מתמטיים עתירי פעילות.