מתמטיקה

מיכאל גרומוב

ז'אק טיץ 

פרופסור מיכאל גרומוב הכניס לשדה הקלאסי של הגיאומטריה הדיפרנציאלית מספר רב של מושגים חדשים מקוריים, שהובילו לפתרון מספר רב של בעיות חשובות שלכאורה היו לא-פתירות. הוא גילה שמורות חדשות המקשרות בין מבנים גיאומטריה דיפרנציאלית למבנים של טופולוגיה אלגברית, שמורות שערכן הוכח הן בידי גרומוב עצמו והן בידי אחרים. הוא הצליח, למשל, להעריך את מספרי בטי (BETTI) של יריעות רימאניות (RIEMANNIAN) על-ידי שימוש בחסם מלרע לעקמומיות חתכים בלבד. בחלק ניכר מעבודתו הוא משתמש במושגי התכנסות של יריעות רימאן שהוא הגה. רעיונות נועזים אלה הם גם ביסוד פתרונו המרשים לבעיות החבורות בעלות גידול פולינומיאלי. גישה גיאומטרית זו, בצירוף רעיון של אליה ריפס (E. RIPS), הובילוהו לבניית תורת החבורות ההיפרבוליות, ששינתה מן היסוד את תורת החבורות הנדידות. כמן כן תרם תרומות מעמיקות לתורה הגלובלית של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ולתורת היריעות הסימפלקטיות, בניית שמורות שנתנו, בפעם הראשונה, תיאור של דרגת הצפידות הסימפלקטית. עבודותיו מתאפיינות בעומק שאין דומה לו ובמקוריות מזהירה, ובמשך שנים רבות ימשיכו להיות מקור השראה לגיאומטרים.

ז'אק טיץ 

מיכאל גרומוב

פרופסור ז'אק טיץ תרם תרומות בסיסיות רבות לתורת החבורות ויחסי הגומלין שלהן עם הגיאומטריה. הוא פיתח את תורת הבניינים כעיקרון מארגן מרכזי וכמכשיר רב-עצמה למגוון מדהים ברוחבו של בעיות בתורת החבורות ובגיאומטריה. זוהי גישה גיאומטרית לתורת החבורות הניתנת לשימוש לגבי חבורות סופיות, חבורות אלגבריות, חבורות פיאדיות וחבורות אריתמטיות, ושימשה מכשיר יעיל ברבים מההישגים החשובים ביותר בשטח בעשרים השנים האחרונות. בכיוון ההפוך אפשרה עבודתו תרומות מעמיקות לגיאומטריה על-ידי שימוש תורת החבורות, תרומות שנעשו הן על-ידי טיץ עצמו והן על-ידי אחרים, גם בשטחים שלהם לא יועדו מלכתחילה, כמו תורת מרחבי דימאן מדרגה גדולה מאחת. רעיונותיו של טיץ הם כיום מרכיב עקרי בכליו של גיאומטר. טיץ תרם תרומות חשובות רבות אחרות בשטחי המתמטיקה המנויים לעיל, לתורת חבורות קוקסטר (COXETER), לחבורות לי (LIE) ולאלגברות כץ-מודי (KAC-MOODY). עבודתו העשירה מאד את המתמטיקה ופרצה דרך להתפתחויות נוספות רבות.

לנארט קרלסון

ג'ון ג. תומפסון 

לנארט קרלסון (נולד ב-1928, שבדיה) קיבל את הדוקטורט שלו מאוניברסיטת אופסלה ב-1950. הוא ערך מחקר פוסט-דוקטורט באוניברסיטת הרווארד, שם עסק בדיונים על סדרות פורייה והתכנסותן עם אנטוני זיגמונד ורפאל סאלם, שנכחו בשנים 1950 ו-1951. הוא פרופסור אמריטוס באוניברסיטת אופסלה, המכון המלכותי לטכנולוגיה בשטוקהולם, ואוניברסיטת קליפורניה, לוס אנג'לס, קרלסון גם ניהל במכון מיטג-לפלר בדיורסהולם, מחוץ לשטוקהולם, בין השנים 1968 ל-1984. בנוסף, הוא כיהן כנשיא של האיגוד הבינלאומי למתמטיקה בין 1978 ל-1982.

תרומותיו הבסיסיות של פרופסור לנארט קרלסון לאנליזת פוריה (Fourier), אנליזה מרוכבת, העתקות קואזי-קונפורמיות ומערכות דינמיות קובעות בבירור את מעמדו כאחד מגדולי האנליזה המתמטית במאה העשרים. מאמרו ב"אקטה מתמטיקה" בשנת 1952 על קבוצות ייחודיות עבור מחלקות שונות של פונקציות היה פריצת דרך בשטח זה. המאמרים בשנת 1958 ובשנת 1962 על אינטרפולציה ו"בעיית הילה", לא זו בלבד שפתרו את השערות ההילה, אלא גם הכילו שפע של שיטות ומושגים חדשים (כגון: מידות קרלסון, בניית ההילה והקשרים לאינטרפולציה). מושגים אלה הם עתה מושגים בסיסיים באנליזת פוריה המודרנית ובתורת הפונקציות המרוכבות, הן של משתנה אחד והן של כמה משתנים.

פתרונו המהולל של קרלסון בשנת 1965 להשערת לוסין (Lusin) היה תצוגה מסנוורת של שליטתו הטכנית, בו הוכיח קרלסון את התוצאה המפורסמת כיום, שטור פוריה של פונקציה אינטגרלית בריבוע מעל קטע היחידה חייב להתכנס כמעט בכל מקום. בשנת 1972 הוכיח קרלסון שבממד שניים, ממוצעי בוכנר-ריס (Bochner-Riesz) מכל סדר הם חסומים ב-LP, לכל P בין 4/3 לבין 4. גם כאן, השיטות שהכניס הן בעלות חשיבות בסיסית לשטח זה של אנליזת פוריה.

בשנת 1974 הוכח כי כל העתקה קואזי-קונפורמית של המרחב התלת ממדי R3. ניתנת להרחבה להעתקה קואזי-קונפורמית במרחב בארבע-ממדי R4. המקרים של R ו-R2, שהיו ידועים קודם, היו ניתנים לפתרון בשיטות אלמנטריות. השיטות המעמיקות שהוא הכניס בהוכחה זו הותאמו לאחר מכן לכל ממד שהוא.

בשנת 1984 פיתחו קרלסון ובנדיקס (Benedicks) שיטה חדשה ללימוד ההתנהגות הכאוטית של ההעתקה הלא-לינארית הבסיסית החד-ממדית X ← ax2 -1, ובשנת 1988 הם הרחיבו שיטה זו, בהפגנת כוח מרשימה, להוכיח שלהעתקת הנון (Henon) הדו-ממדית: (Y,X) ← (1+y-ax,bx) יש "מושכים מוזרים" עבור קבוצה של ערכי הפרמטרים בעלת מידה חיובית. מאמר היסטורי זה פתח שטח שלם של פעילות בתורת המערכות הדינמיות.

ג'ון ג. תומפסון 

לנארט קרלסון

ג'ון ג. תומפסון (נולד ב-1932, ארה"ב) סיים את התואר הראשון שלו באוניברסיטת ייל ב-1955 והשלים את הדוקטורט שלו באוניברסיטת שיקגו ב-1959 בהדרכתו של סונדרס מק ליין. לאחר תקופה בפקולטה למתמטיקה באוניברסיטת שיקגו, הוא קיבל תואר פרופסור במתמטיקה באוניברסיטת קיימברידג' בשנת 1970. מאוחר יותר, הוא עבר למחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת פלורידה, כשהוא מחזיק בתפקיד פרופסור למחקר לתואר ראשון. תומפסון הוא פרופסור אמריטוס למתמטיקה טהורה באוניברסיטת קיימברידג' ופרופסור למתמטיקה באוניברסיטת פלורידה.

עבודתו של פרופסור ג'ון ג. תומפסון שינתה לחלוטין את מראה של תורת החבורות הסופיות. כבר בעבודת הדוקטורט שלו פתר השערה ישנה של פרובנינו (Frobenino), מסוף המאה שעברה: אם לחבורה סופית יש אוטומורפיזם מסדר סופי ללא נקודת-שבת, אזי החבורה נילפוטנטית. הפתרון התקבל ע"י שימוש ברעיונות חדשים ומקוריים ביותר. לאחר מכן התרכז במיון החבורות הפשוטות הסופיות. ההישג המפתיע הראשון הייתה עבודתו המשותפת עם ולטר פייט, בה הוכיח שחבורה פשוטה סופית לא-קומוטטיבית היא בהכרח בעלת סדר זוגי. תומפסון המשיך לאחר מכן במיון החבורות הפשוטות הסופיות, שבהן לכל תת-חבורה פתירה יש מנרמל פתיר. עבודה זו הייתה המפתח במאמץ הקולקטיבי שהוביל לאחת התוצאות המתמטיות החשובות ביותר של המאה, המיון המלא של החבורות הפשוטות הסופיות.

בשנות ה-70 המאוחרות הוא הבחין בחשיבותו של הקשר המרשים שמצא מקיי (McKay) בין חבורת פישר-גריס לבין פונקצית – j המודולרית, והמשיך וניסח סדרת השערות המקשרות בין פונקציות מודולריות לבין חבורות פשוטות ספורדיות סופיות. השערות אלה אומתו עתה והובילו לשאלות חשובות ועמוקות, שימשיכו להעסיק את המתמטיקאים בעתיד.

בתקופה זו גם תרם תרומה משמעותית לתורת הקידוד ולתורת המישורים הפרויקטיביים הסופיים. הפתרון, לאחרונה, של הבעייה הקלסית בדבר אי-קיום מישור מסדר 10 הוא, במידה רבה, בזכות מאמציו.

בשנים האחרונות חקר תומפסון את הבעיה של בניית חבורות גלואה (Galois) מעל שדות מספרים, במיוחד מעל שדה הרציונליים. נקודת המוצא כאן היא משפט אי-הפריקות של הילברט (Hilbert), ועבודתו של תומפסון מהווה, קרוב לוודאי, את ההתקדמות החשובה ביותר מאז זמנו של הילברט.

כוחה החודר של גאוניותו של תומפסון הוא מדהים, תרומותיו לתורת החבורות והנושאים הקרובים לה הן בעלות משמעות בלתי חולפת.

אניו דה-ג'ורג'י

איליה פיאטצקי-שפירו 

עבודתו של פרופסור אניו דה-ג'ורג'י היא בין ההישגים החשובים והיצירתיים ביותר בתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות ובחשבון הוואריאציות. כאשר החל במחקריו לא יכלו עדיין המתמטיקאים לטפל במשוואות מסובכות יותר מאשר משוואות אליפטיות לא-לינאריות מהסדר השני. בפריצת הדרך הגדולה הראשונה שלו בשנת 1957, הוכיח דה-ג'ורג'י שהפתרונות של משוואות אליפטיות במידה אחידה מהסדר השני בעלי צורה דיברגנטית שהן בעלי מקדמים מדידים בלבד הם בהכרח רצופים במובן של הולדר (Holder). תרומתו הגדולה ביותר, כנראה, הייתה בשנת 1960: זו הייתה תורת רגולריות לעל-משטחים מינימליים. משטחים כאלה מתקבלים כמשטחים בעלי שטח פנים מינימלי הפורשים שפה נתונה. ההוכחה דרשה מדה-ג'ורג'י לפתח את גירסתו למה שנקרא היום תורת המידה הגאומטרית, וזאת יחד עם משפט מפתח על קומפאקטיות. אז יכול היה להסיק שעל-משטח מינימלי הוא אנליטי מחוץ לקבוצה חלקית סגורה בעלת קו-מד שניים לפחות. מאז יישבו דה-ג'ורג'י ואסכולתו רבות מהבעיות הבולטות בשטח זה.

איליה פיאטצקי-שפירו 

אניו דה-ג'ורג'י

איליה פיאטצקי-שפירו (נולד ב-1929, רוסיה) פיתח אהבה למתמטיקה כבר בגיל 10, סקרנותו הוצתה בשל היופי הייחודי של מספרים שליליים, נושא שהציג לו אביו, דוקטור להנדסה כימית. עוד בהיותו סטודנט לתואר ראשון באוניברסיטת מוסקבה, כישוריו המתמטיים של פיאטצקי-שפירו זיכו אותו בפרס האגודה המתמטית של מוסקבה למתמטיקאי צעיר בשנת 1952. המאמר הזוכה שהציג הכיל פתרון לבעיה שהציב האנליטיקאי הצרפתי רפאל סאלם בנוגע לקבוצות של ייחודיות של סדרה טריגונומטרית.

במשך כארבעים שנה תורם פרופסור איליה פיאטצקי-שפירו תרומות נכבדות למתמטיקה באמצעות פתרון בעיות פתוחות בולטות ובאמצעות הכנסת רעיונות חדשים לתורת הפונקציות האוטומורפיות וקשריה עם תורת המספרים, הגאומטריה האלגברית וההצגות האינסוף-ממדיות של חבורות לי (Lie groups). לעבודתו היה תפקיד חשוב ולעתים מכריע, בהתפתחות העצומה של תורה זו בשלושים השנים האחרונות. בין הישגיו העיקריים: פתרון בעיית סלם (Salem) על אודות יחידות הפיתוח של פונקציה כטור טריגונומטרי; דוגמה לתחום הומוגני לא סימטרי בממד 4, שענתה על השאלה של קרטן (Cartan), והמיון המלא (בשיתוף עם א. וינברג ועם ג. גידינקין) של כל התחומים ההומגניים החסומים; פתרון בעיית טורל (Torell) עבור משטחי K-3 (בשיתוך עם י. שפרביץ'); פתרון של מקרה פרטי של השערת סלברג (Selberg) על אודות איברים יוניפוטנטיים. פתרון זה סלל את הדרך להתפתחויות חשובות בתורת החבורות הבדידות ולתוצאות חשובות בתורת הפונקציות האוטומורפיות, כמו הרחבת התורה לקונטקסט הכללי של חבורות לי פשוטות למחצה (עם י. גלפנד), התורה הכללית של חבורות ארתמטיות הפועלות על תחומים סימטריים חסומים, "המשפט ההפוך" הראשון עבור GL(3), בניית פונקציות-L להצגות אוטומורפיות לכל החברות הקלאסיות (עם ס. רליס) וההוכחה בדבר קיום סריגים לא ארתמטיים במרחבים היפרבוליים מממד גדול כרצוננו (עם מ. גרומוב).

אלברטו פ. קלדרון

ג'ון וו. מילנור 

אלברטו פ. קלדרון (נולד ב-1920, ארגנטינה) החל את מסעו האקדמי באוניברסיטת בואנוס איירס, תוך התמקדות בלימודי הנדסה. עם סיום התואר בהנדסה אזרחית ב-1947, קלדרון השיג תפקיד במעבדת המחקר של החטיבה הגיאופיזית ב- YPF (Yacimientos Petrolíferos Fiscales), חברת נפט בבעלות ממשלתית בארגנטינה. עבודתו במעבדת YPF התרכזה בחקר שיטות לקביעת מוליכות הגוף על ידי ביצוע מדידות חשמליות בגבולו. למרות שהוא לא פרסם את ממצאיו עד 1980 במאמר ברזילאי קצר, המחקר של קלדרון סימן תרומה מהותית לתחום. לאחר מכן, קלדרון עבר לתפקיד באוניברסיטת בואנוס איירס. ב-1948 הגיע אנטוני זיגמונד מאוניברסיטת שיקגו לאוניברסיטה בעקבות הזמנה של אלברטו גונזלס דומינגז. קלדרון הוגדר אז כעוזרו של זיגמונד. זיגמונד התרשם מהפוטנציאל של קלדרון, והגיש הזמנה לקלדרון לשתף איתו פעולה. בשנת 1949, קלדרון עבר לשיקגו בתמיכת מלגת רוקפלר. בעידודו של מרשל סטון להמשיך לדוקטורט, קלדרון השתמש בשלושה מאמרים שפורסמו כעבודת הדוקטורט שלו וקיבל את הדוקטורט שלו במתמטיקה תחת פיקוחו של זיגמונד ב-1950.

למחקריו של פרופסור אלברטו קלדרון יש השפעה על תבניתה של אנליזת פוריי בת-ימינו והקשרים שבינה לבין השטחים של משתנים ממשיים, אנליזה מורכבת ומשוואות דיפרנציאליות חלקיות. במיוחד, תרומותיו היו מכריעות לתורה של אופראטורים אינטגראליים סינגולאריים (SIO), גם בגלל הכנסת כלים טכניים מושחזים היטב לתוך התורה עצמה וגם על-ידי החדרת יישומים בעלי-מעוף לתוך התיאוריה ודרך היישום רב-הדמיון לבעיות חשובות במשוואות דיפרנציאליות חלקיות. עם מורו ורבו אנטוני זיגמונד (A. Zigmund), הוכיח קלדרון את המשפט המפורסם על אודות חסימות של SIO והציג לראשונה את הפירוק החשוב קלדרון-זיגמונד. לאחר מכן, הוא השתמש ב-SIO כדי לקבוע את התוצאה הכללית הראשונה ביחס לידידות של בעיית קאושי (Cauchy) בעבור מערכות ואופראטורים דיפרנציאליים חלקיים. הוא הפעיל כלים אלו כדי לקבל תוצאות כלליות לגבי פתירות לוקלית של משוואות דיפרנציאליות חלקיות לינאריות (וזאת בו-זמנית, עם ובאופן בלתי-תלוי מהורמנדר). הוא גם היה הראשון שהגיש שיטה כללית של צמצום בעיות שפה אליפטיות מסדר שרירותי למערכות של משוואות אינטגראליות על השפה. מאמרים אלו סיפקו את התמריץ העיקרים לפיתוח אופראטורים פסבדו-דיפרנציאליים. בערך באותו זמן הכניס קלדרון את השיטה המרוכבת של אינטרפולאציה של אופראטורים במרחבי בנך (Banach) כלליים (וזאת בו-זמנית עם J.L. Lions). בעזרת משפטו המפורסם על אודות הקומוטטור הראשון, החל קלדרון בחקירה חדשה ופוריה של תורת ה-SIO, וזו הניבה את מאמרו על אודות אינטגראל קאושי על עקומות ליפשיץ – מאמר שזכה בפרס בושר (Bocher). בעבודה זו לא זו בלבד שיישב בעיה חשובה ובעלת ותק מדעי בתורת הפונקציות המרוכבות, אלא גם קבע אופקים חדשים למחקר באנליזה קלאסית.

ג'ון וו. מילנור 

אלברטו פ. קלדרון

במהלך שנות התואר הראשון שלו באוניברסיטת פרינסטון, ג'ון וו. מילנור (נולד ב-1931, ארה"ב)  זכה לתואר עמית פוטנם גם ב-1949 וגם ב-1950, בגיל 19 הוא הוכיח בהצלחה את משפט פארי-מילנור. עם סיום לימודיו, מילנור קיבל תואר A.B. במתמטיקה ב-1951, תוך הצגת עבודת גמר בשם "קבוצות קישור", אשר בהנחיית רוברט ה. פוקס. לאחר שנשאר בפרינסטון ללימודי התואר השני, מילנור המשיך בעיסוקו האקדמי והשיג את הדוקטורט שלו. במתמטיקה בשנת 1954. עבודת הדוקטורט שלו, שכותרתה "איזוטופיה של קישורים", נערכה גם היא בהנחיית פוקס.

לגילוייו של פרופסור ג'ון מילנור המאוד מקוריים בגיאומטריה הייתה השפעה מרבית על התפתחותה של המתמטיקה בת זמננו. הידע הנוכחי במיונם של יריעות טופולוגיות, לינאריות למקוטעין ודיפרנציאליות, נשען במידה מרובה על עבודותיו בטופולוגיה ובאלגברה. הגילוי של מילנור כי קיימים מבנים דיפרנציאליים אקסוטיים, כלומר שונים מהמבנים הסטנדרטיים על S7 (כדור שבעה-ממדי) בא כהפתעה גמורה וסימן את תחילתה של הטופולוגיה הדיפרנציאלית. מאוחר יותר, בעבודה משותפת עם קרוויר (Kervaire) יצר מילנור מבנים אלו על כל Sn חבורה, אשר ניתן היה לחשב אותה (לפחות באופן חלקי). מתברר, למשל, שעל S31 קיימים למעלה משישה עשר מליון מבנים דיפרנציאליים שונים. בעבודתו החשובה, בגיאומטריה אלגברית, על אודות נקודות סינגולאריות של היפר משטחים מרוכבים, הוא מוצא קשר בין כדורים אקסוטיים ובין חיבורים שליד נקודות סינגולריות. בכיוון הקומבינאטורי הוכיח מילנור כלא-נכונה את ההשערה, ארוכת הימים בטופולוגיה אלגברית, הידועה בשם Hauptvermutung; הוא עשה זאת בבנותו מרחבים עם שני מבנים פוליהדראלים שאין להם תת-מבנה משותף. תוצאה זו התבססה על יישום בלתי-צפוי של הרעיון הידוע של פיתול, אשר בצורותיו האלגבריות והגיאומטריות השונות הפך מאז לכלי בסיסי.

אלו הן רק אחדות מהפסגות בעבודת חייו המרשימה של מילנור. מלבד מאמריו המדעים, מכילים גם ספריו אוצר בלום של תוצאות חדשות. ספריו ידועים בבהירותם ובברקם, והם עדיין משמשים מקור מתמשך של השראה.

לארס הורמאנדר

פרידריך הירצברוך 

פרופסור לארס הורמאנדר הנו התורם החשוב ביותר לתיאוריה המודרנית של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות. עבודותיו המוקדמות במשוואות בעלות מקדמים קבועים זיכו אותו בשנת 1962 בפרס פילדס – הכבוד הגדול ביותר שמתמטיקאי צעיר יכול לקבל. מאז הוא ממלא תפקיד מוביל בפיתוח הטכניקות המודרניות בנושא – כגון: (1) אופרטורים פסבדודיפרנציאליים המאגדים יחדיו ומשכללים ביותר אופרטורים דיפרנציאליים ואופרטורים אינטגראליים סינגולאריים; (2) אופרטורי פורייה אינטגראליים, שמוצאם מהאופטיקה הגיאומטרית. הורמאנדר הפעיל כלים חדשים אלה באפקטיביות מוחצת; ההשקפה המודרנית על אודות חזיתות-גלים והסינגולאריות שלהן משמשת דוגמה מובהקת להצלחתן של שיטותיו. ההתפתחות בכללותה תוארה על ידי הורמאנדר במסה מזהירה בת ארבעה כרכים, שנעשתה לעבודה התקנית בשטח. הורמאנדר השיג תוצאות ראויות לציון גם בהקשר לפונקציות של משתנים מרוכבים אחדים, למשפט הפונקציה הסתומה של נאש-מוזר, לתורת הפיזור, למשוואות ההיפרבוליות הלא-לינאריות ועוד. גם בשטחים אלה הפגין את רב-גוניותו ואת יכולתו הטכנית יוצאת הדופן.