מתמטיקה

 דניס סאליבן 

שינג-טונג יאו

דניס סאליבן (נולד ב-1941, ארה"ב) תרם תרומה בעלת ערך בסיסי בשטחים רבים, ובמיוחד בטופולוגיה אלגברית ובמערכות דינמיות. בעבודותיו המוקדמות, השתתף סאליבן בהנחת היסודות לגישה הידועה כ-surgery בחקר הסיווג של יריעות מממד גבוה, גישה שהביאה בפרט לסיווג מלא של יריעות פשוטות-קשר מטיפוס הומוטופי נתון. הוא פיתח את רעיונות הלוקאליזציה וההשלמה בתורת ההומוטופיה והשתמש בתורה זאת על מנת להוכיח את השערת אדמס (שהוכחה במקביל גם על ידי Quillen). ביחד עם Quillen הם הגדירו את מושג הטיפוס ההומוטופי הרציונלי של מרחבים.

סאליבן הראה כי ניתן לחשב טיפוס זה תוך שימוש במודל מינימלי של אלגברה דיפרנציאלית מדורגת. לרעיונותיו של סאליבן נודעה השפעה מכרעת על טופולוגיה אלגברית ושימושיה. אחת מתרומותיו החשובות של סאליבן קשורה לגילוי טכניקות מתמטיות חדשניות אשר שימשו לביסוס מדויק של הרנורמליזציה של פייגנבאום, תורה האמורה להסביר את תופעת ה"אוניברסליות" במערכות דינמיות. המשפט של סאליבן בדבר תחומים לא נודדים, יישב את בעיית הסיווג של איטרציות של העתקות רציונליות של כדור רימאן, ובכך פתר השערה של ג'וליה ופאטו, שנותרה פתוחה במשך שישים שנה. עבודתו של סאליבן יצרה גל של פעילות בעקבות הכנסת שיטות קוואזי-קונפורמיות והביאה ליצירת מילון חדשני המקשר בין העתקות רציונליות וחבורות קליין. משפט "הקשיחות" שלו לגבי חבורות אלה שימש כלי חשוב בחקר התורה של טייכמולר ובתכנית הגאומטריזציה של Thurston ליריעות תלת-ממדיות. עבודותיו המאוחרות יותר על תורת השדות הטופולוגית והפורמליזם של תורת המיתרים הן תוצר לוואי של חיפושו המתמיד להבנת טיבו של המרחב וכיצד הוא משתקף במבנים אלגבריים מורכבים. עבודתו של סאליבן הייתה תמיד חדשנית ומעוררת השראה. מעבר לפתרונן של בעיות קשות, יצרה עבודתו שטחים מתמטיים חשובים, שבהם עוסקים מתמטיקאים רבים.

פיליפ א. גריפיתס

דיויד ב. מאמפורד

פייר ר. דליניה

תורת המודולים, כלומר הוואריאציות של מבנה אלגברי או אנליטי, היא תורה מרכזית בגיאומטריה האלגברית המודרנית. תורה זו הייתה מאז ומתמיד מסתורית ובעייתית. במקרים קריטיים מיוחדים, כמו עקומות, הייתה לה משמעות. כך למשל, לקבוצת העקומות בעלות גנוס גדול מ-1 היה מבנה אלגברי טבעי. בממדים גדולים מ-1 היה איזה שהוא מבנה מקומי, אבל באופן גלובאלי הכל נותר מסתורי. שתי הגישות העיקריות למודולים, הקרובות למדי זו לזו, היו תורת השמורות מחד, והמחזורים של אינטגראלים אַבֶּלִים מאידך. דליניה, גריפיתס ומאמפורד טיפלו בבעיה מרכזית זו והבהירו אותה.

פרופסור דיויד מאמפורד הביא למהפך בגישה האלגברית באמצעות תורת השמורות, שנקראה על ידו "תורת השמורות הגיאומטריות". בגישה זו נתן מרשם מסובך לבניית מודולים במקרה האלגברי. כאחד השימושים לכך הוא הוכיח שקיימת קבוצת משוואות עם מקדמים שלמים, המגדירה את מרחב העקומות. חשוב ביותר לציין שמאמפורד הראה שקיימים מרחבי מודולים, גם אם לעתים קרובות הם מסובכים מאוד, פרט למקרים יוצאים מן הכלל המובנים היטב לאור עבודתו. מסגרת זו היא קריטית לעבודתם של גריפיתס ודליניה. המתמטיקאים, כמו למשל חתן פרס וולף אנדרה וייל, ניסו לשווא להכליל את המחזורים לממדים גבוהים יותר בגישה הקלאסית.

פרופסור פיליפ א. גריפִיתְס הוא שתרם את התובנה הבסיסית לכך שפילטראצית הודג', הנמדדת כנגד הומולוגיית השלמים, מכלילה את המחזורים הקלאסיים של אינטגראלים. יתר על כן, הוא תפס שלהעתקת המחזור יש הכללה טבעית כהעתקה לתוך מרחב ממיין לוואריאציות של מבני הודג', בהגבלה לא-קלאסית חדשה המוכתבת ע'י פעולת מחלקת קודאירה-ספנסר. זה הוביל לעבודה רבה בגיאומטריה דיפרנציאלית מרוכבת, כמו עבודתו הבסיסית עם דליניה, ג'והן מורגן ודניס סאליבן על תורת ההומוטופיה הרציונאלית של יריעות קֶהלֵר קומפקטיות.

בהסתמכו על עבודתם של מאמפורד וגריפיתס, הראה פרופסור פייר דליניה איך להרחיב את הווריאציה של תורת הודג' ליריעות סינגולאריות. התקדמות זו, הנקראת תורת הודג' המעורבת, אפשרה חישוב מפורש על הקומפקטיפיקאציה הסינגולארית, הנקראת גם קומפקטיפיקאצית דליניה-מאמפורד, של מרחבי מודולים שצצו בתורת השמורות הגיאומטריות של מאמפורד. רעיונות אלו עזרו לדליניה בהוכחת כמה תוצאות חשובות אחרות, כמו התאמת רימן-הילברט והשערות וייל.

פייר ר. דליניה

דיויד ב. מאמפורד

פיליפ א. גריפיתס

תורת המודולים, כלומר הוואריאציות של מבנה אלגברי או אנליטי, היא תורה מרכזית בגיאומטריה האלגברית המודרנית. תורה זו הייתה מאז ומתמיד מסתורית ובעייתית. במקרים קריטיים מיוחדים, כמו עקומות, הייתה לה משמעות. כך למשל, לקבוצת העקומות בעלות גנוס גדול מ-1 היה מבנה אלגברי טבעי. בממדים גדולים מ-1 היה איזה שהוא מבנה מקומי, אבל באופן גלובאלי הכל נותר מסתורי. שתי הגישות העיקריות למודולים, הקרובות למדי זו לזו, היו תורת השמורות מחד, והמחזורים של אינטגראלים אַבֶּלִים מאידך. דליניה, גריפיתס ומאמפורד טיפלו בבעיה מרכזית זו והבהירו אותה.

פרופסור דיויד מאמפורד הביא למהפך בגישה האלגברית באמצעות תורת השמורות, שנקראה על ידו "תורת השמורות הגיאומטריות". בגישה זו נתן מרשם מסובך לבניית מודולים במקרה האלגברי. כאחד השימושים לכך הוא הוכיח שקיימת קבוצת משוואות עם מקדמים שלמים, המגדירה את מרחב העקומות. חשוב ביותר לציין שמאמפורד הראה שקיימים מרחבי מודולים, גם אם לעתים קרובות הם מסובכים מאוד, פרט למקרים יוצאים מן הכלל המובנים היטב לאור עבודתו. מסגרת זו היא קריטית לעבודתם של גריפיתס ודליניה. המתמטיקאים, כמו למשל חתן פרס וולף אנדרה וייל, ניסו לשווא להכליל את המחזורים לממדים גבוהים יותר בגישה הקלאסית.

פרופסור פיליפ א. גריפִיתְס הוא שתרם את התובנה הבסיסית לכך שפילטראצית הודג', הנמדדת כנגד הומולוגיית השלמים, מכלילה את המחזורים הקלאסיים של אינטגראלים. יתר על כן, הוא תפס שלהעתקת המחזור יש הכללה טבעית כהעתקה לתוך מרחב ממיין לוואריאציות של מבני הודג', בהגבלה לא-קלאסית חדשה המוכתבת ע'י פעולת מחלקת קודאירה-ספנסר. זה הוביל לעבודה רבה בגיאומטריה דיפרנציאלית מרוכבת, כמו עבודתו הבסיסית עם דליניה, ג'והן מורגן ודניס סאליבן על תורת ההומוטופיה הרציונאלית של יריעות קֶהלֵר קומפקטיות.

בהסתמכו על עבודתם של מאמפורד וגריפיתס, הראה פרופסור פייר דליניה איך להרחיב את הווריאציה של תורת הודג' ליריעות סינגולאריות. התקדמות זו, הנקראת תורת הודג' המעורבת, אפשרה חישוב מפורש על הקומפקטיפיקאציה הסינגולארית, הנקראת גם קומפקטיפיקאצית דליניה-מאמפורד, של מרחבי מודולים שצצו בתורת השמורות הגיאומטריות של מאמפורד. רעיונות אלו עזרו לדליניה בהוכחת כמה תוצאות חשובות אחרות, כמו התאמת רימן-הילברט והשערות וייל.

דיויד ב. מאמפורד

פיליפ א. גריפיתס

פייר ר. דליניה

תורת המודולים, כלומר הוואריאציות של מבנה אלגברי או אנליטי, היא תורה מרכזית בגיאומטריה האלגברית המודרנית. תורה זו הייתה מאז ומתמיד מסתורית ובעייתית. במקרים קריטיים מיוחדים, כמו עקומות, הייתה לה משמעות. כך למשל, לקבוצת העקומות בעלות גנוס גדול מ-1 היה מבנה אלגברי טבעי. בממדים גדולים מ-1 היה איזה שהוא מבנה מקומי, אבל באופן גלובאלי הכל נותר מסתורי. שתי הגישות העיקריות למודולים, הקרובות למדי זו לזו, היו תורת השמורות מחד, והמחזורים של אינטגראלים אַבֶּלִים מאידך. דליניה, גריפיתס ומאמפורד טיפלו בבעיה מרכזית זו והבהירו אותה.

פרופסור דיויד מאמפורד הביא למהפך בגישה האלגברית באמצעות תורת השמורות, שנקראה על ידו "תורת השמורות הגיאומטריות". בגישה זו נתן מרשם מסובך לבניית מודולים במקרה האלגברי. כאחד השימושים לכך הוא הוכיח שקיימת קבוצת משוואות עם מקדמים שלמים, המגדירה את מרחב העקומות. חשוב ביותר לציין שמאמפורד הראה שקיימים מרחבי מודולים, גם אם לעתים קרובות הם מסובכים מאוד, פרט למקרים יוצאים מן הכלל המובנים היטב לאור עבודתו. מסגרת זו היא קריטית לעבודתם של גריפיתס ודליניה. המתמטיקאים, כמו למשל חתן פרס וולף אנדרה וייל, ניסו לשווא להכליל את המחזורים לממדים גבוהים יותר בגישה הקלאסית.

פרופסור פיליפ א. גריפִיתְס הוא שתרם את התובנה הבסיסית לכך שפילטראצית הודג', הנמדדת כנגד הומולוגיית השלמים, מכלילה את המחזורים הקלאסיים של אינטגראלים. יתר על כן, הוא תפס שלהעתקת המחזור יש הכללה טבעית כהעתקה לתוך מרחב ממיין לוואריאציות של מבני הודג', בהגבלה לא-קלאסית חדשה המוכתבת ע"י פעולת מחלקת קודאירה-ספנסר. זה הוביל לעבודה רבה בגיאומטריה דיפרנציאלית מרוכבת, כמו עבודתו הבסיסית עם דליניה, ג'והן מורגן ודניס סאליבן על תורת ההומוטופיה הרציונאלית של יריעות קֶהלֵר קומפקטיות.

בהסתמכו על עבודתם של מאמפורד וגריפיתס, הראה פרופסור פייר דליניה איך להרחיב את הווריאציה של תורת הודג' ליריעות סינגולאריות. התקדמות זו, הנקראת תורת הודג' המעורבת, אפשרה חישוב מפורש על הקומפקטיפיקאציה הסינגולארית, הנקראת גם קומפקטיפיקאצית דליניה-מאמפורד, של מרחבי מודולים שצצו בתורת השמורות הגיאומטריות של מאמפורד. רעיונות אלו עזרו לדליניה בהוכחת כמה תוצאות חשובות אחרות, כמו התאמת רימן-הילברט והשערות וייל.

סטפן סמייל

הלל (הארי) פורסטנברג 

פרופסור סטפן סמייל תרם רבות בשנות החמישים המאוחרות ובשנות השישים המוקדמות, להתפתחות הגיאומטריה הדיפרנציאלית, שדה שהיה אז עדיין בחיתוליו. תוצאותיו בדבר "שרייה" (אימרסיה) של משטחים כדוריים (ספֶרות) במרחבים אוקלידיים עדיין מסקרנת מתמטיקאים, כפי שיעידו סרטים ותמונות שנעשו לאחרונה, המדגימים את מה שהוא קרא "שליפה" (אֶוֶורסיה) של המשטח הכדורי. הוכחתו למשפט פואנקרה עבור ממדים 5 ומעלה היא אחד ההישגים המתמטיים הגדולים ביותר של המאה העשרים. משפט ה"קובּורדיזם-h" שלו הפך להיות, אולי, המכשיר הבסיסי ביותר בגיאומטריה הדיפרנציאלית.

במשך שנות השישים עיצב סמייל מחדש את עולם המערכות הדינאמיות. תורת המערכות ההיפרבוליות שלו ממשיכה להיות אחת ההתפתחויות העיקריות, מאז פּוּאַנקָרֶה, בשטח זה, והיסודות המתמטיים של מה שנקרא "תורת הכאוס" אף הם הונחו על ידו. בשנות השישים המוקדמות תרמה עבודתו של סמייל תרומה דרמטית לשינוי בחקר הטופולוגיה והאנליזה של יריעות אינסוף ממדיות. שינוי זה הושג בעזרת האנלוגים האינסוף-ממדיים שקיבל סמייל למשפט הנקודה הקריטית של מורס (מה שנקרא היום "תורת פאליי-סמייל") ולמשפט סארד.

בשנות השבעים הפנה סמייל את מחקרו למכניקה ולכלכלה, והחיל עליהן את רעיונותיו על טופולוגיה ודינאמיקה. לדוגמה, מושג "הפוטנציאל המשופר" שלו ממלא תפקיד מרכזי בהתפתחויות העכשוויות בתחומי היציבות וההסתעפות של מצבי שיווי משקל יחסיים. בכלכלה השתמש סמייל בתורה מופשטת של אופטימיזאציה במספר משתנים שפיתח, כדי לספק תנאים לקיום נקודות אופטימום במובן של פּארֶטו, וכדי לאפיין קבוצת נקודות אופטימום זו כתת-יריעה של מצבים דיפֶאומורפיים לקבוצות מצבי שיווי המשקל של פארטו. הוא גם הוכיח קיום מצבי שיווי משקל כללי בהנחות חלשות מאוד ותרם לפיתוח אלגוריתמים לחישוב מצבי שיוויי משקל אלו.

פעילותו זו היא שהובילה אותו בשנות השמונים המוקדמות לקטע הארוך ביותר בקריירה שלו – עבודתו על תורת החישובים והמתמטיקה החישובית. בניגוד לזרם המרכזי במחקר החישוב המדעי, שהתרכז בפתרונות מידיים לבעיות קונקרטיות, פיתח סמייל תורה של חישוב מתמשך וסיבוכיות במקרה הרציף (בדומה לתורה שפיתחו מדעני המחשב למקרה הבדיד), ותכנן וניתח אלגוריתמים למספר בעיות ספציפיות. כמה מניתוחים אלה מהווים מופת לשימוש במתמטיקה עמוקה בלימוד אלגוריתמים נומריים.

הלל (הארי) פורסטנברג 

סטפן סמייל

פרופסור הלל פורסטנברג הוא אחד מרבי האמנים של תורת ההסתברות, התורה הארגודית והטופולוגיה הדינאמית. בין תרומותיו: השימוש ברעיונות מהתורה האֶרגודית בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, והשימוש ברעיונות הסתברותיים בתורת חבורות לי ותת-חבורותיהן הבדידות.

בתורת ההסתברות הוא היה חלוץ בלימוד מכפלות של מטריצות אקראיות וקישור התנהגותן הגבולית למשפטי מבנה עמוקים לגבי חבורות לי. לתוצאה זו הייתה השפעה מרבית על כל העבודה שנעשתה לאחר מכן באותו שטח, שצץ ועלה כענף ראשי לא רק בהסתברות, אלא גם בפיסיקה סטטיסטית ובשטחים אחרים.

בטופולוגיה דינאמית, הוכחתו של פורסטנברג למשפט המבנה עבור זרימות מרוחקות (דיסטאליות) הכניסה טכניקות חדשות באופן רדיקאלי וחוללה מהפכה בשטח. המשפט שלו, האומר כי זרימה מעגלית-גבולית (הורוציקלית) על משטח בעל עקמומיות שלילית קבועה היא אֶרגודית באופן יחיד, הפך להיות מרכיב עיקרי בתורה הדינאמית של פעולות חבורות לי. במחקרו על תהליכים סטוכאסטיים על מרחבים אחידים (הומוגניים) הוא הכניס שיטות עמידוֹת (סטציונאריות) שלימודן הוביל אותו להגדיר את מה שנקרא היום "שפת פורסטנברג" של חבורה. לניתוח שלו להתנהגות האסימפטוטית של מהלכים אקראיים על חבורות הייתה השפעה מתמשכת על העבודה שנעשתה בשטח זה לאחר מכן, כולל חקר סריגים של חבורות לי וחישוקים נלווים (קו-סייקלים) של פעולות חבורה.

בתורה האֶרגודית פיתח פורסטנברג את המושג הבסיסי של שיכון דינאמי. פיתוח זה הוביל אותו לשימושים מרהיבים בקומבינטוריקה, כולל הוכחה חדשה למשפט סֶמֶרֶדי על סדרות חשבוניות והכללות מרחיקות לכת של משפט זה.

סרגיי פ. נוביקוב

גרגורי א. מרגוליס 

עבודותיו הראשונות בטופולוגיה אלגברית ודיפרנציאלית כוללות אבני דרך במתמטיקה, כמו חישוב חוגי קובורדיזם וחבורות הומוטופיה סטביליות, הוכחה שמחלקות פונטריגין רציונליות הן אנורינטיות מבחינה טופולוגיות, השערה על מאפיינים של חתימה (סיגנטורה) בערכים גבוהים (הידועה כיום כ"השערת נוביקוב") וההוכחה של הקיום של עלים סגורים בפוליאציות דו-ממדיות של כדור תלת-ממדי.

בראשית שנות ה-70 החל נוביקוב להתעניין במתמטיקה פיסיקלית ותרם לתורת היחסות הכללית ולמוליכות של מתכות. הוא בנה גרסה גלובלית של תורת מורס על מניפות ומרחבים סגורים שהניבה אפליקציות לתורת השדות הקוונטים (פונקציונלים רב-ערכיים). ההישגים המרשימים ביותר בשטח זה נובעים מהשילוב החלוצי של שיטות מגיאומטריה אלגברית בחקר מערכות שלמות לחלוטין, כולל חקירה סיסטמטית של פתרונות בשני ממדים, ניסוח של שקילות המיון של פתרונות אלגברו-גיאומטרים של משוואות KP עם המיון הקונפורמלי של משטחי רימן וחקירה (יחד עם קריצ'בר) של אופרטורים כמעט מתחלפים שמופיעים בתורת המיתרים ובמודלים מטריציאלים (אלגברת נוביקוב-קריצ'בר שהיא כיום בשימוש נפוץ בפיסיקה).

נוביקוב תרם תרומות מהותיות ומפליאות לשני שטחים שונים לחלוטין, ויחד עם זאת הוא אחד המתמטיקאים הנדירים שמחבר רעיונות מתמטיים עמוקים ומרכזיים לבעיות יסודיות וקשות בפיסיקה בצורה מדהימה המרתקת מתמטיקאים ופיסיקאים כאחד.

גרגורי א. מרגוליס 

סרגיי פ. נוביקוב

העבודה המרכזית של מארג זה היא ההוכחה להשערת סלברג-פיאטצקי-שפירו ששריגים בחבורות לי מדרגה גבוהה הם אריתמטים – בעיה ששורשיה מגיעים עד פואנקרה. עבודה זו הושגה ע"י שימוש בכוח מתמטי מדהים, שבו מושגים הסתברותיים שעלו מתוך גרסה לא קומוטטיבית של תורה ארגודית עם אנליזה פיאדית וגיאומטריה אלגברית, כדי להראות שניתן לנסח מחדש את הופעת הקשיחות (שנבנתה ע"י מרגוליס) כך שניתן יהיה להסיק את תכונת האריתמטיות. הוכחה זו משלבת יכולת טכנית וירטואוזית ומקוריות בשיטות אלגבריות ואנליטיות כאחד. עבודה זו שינתה לחלוטין את התורה הארגודית של פעולות של חבורות על מניפות.

הדגמה שנייה של הכוח המתמטי של מרגוליס היא הפתרון של השערת אופנהיים (מ- 1929), האומרת שהפתרונות השלמים של תבנית ריבועית סתומה לא מנוונת בשלושה נעלמים (ומעלה) צפופה ב- Rn. מרגוליס הוכיח את הרדוקציה של השערת אופנהיים לזרמים יוניפוטנטים על מרחבים הומוגניים. שיטה זו תרגמה לתורה הארגודית שורה ארוכה של שאלות שעד אז נידונו רק בתורת המספרים האנליטית.

פריצת דרך דרמטית שלישית הייתה ההוכחה ש"תכונות-T" (של קאז'דן) שהייתה קיימת עבור שריגים קשיחים ניתנת לשימוש בבנייה של שריג אריתמטי, על מנת לפתור שתי בעיות שעד אז נראו כבלתי תלויות זו בזו. הראשונה זו הבעיה של רושיוויץ על מספר סופי של מידות אדיטיביות על כדורים ומרחבים אוקלידים. השנייה זו בנייה מפורשת של אין-סוף משפחות של גרפים ממעלה סופית וחסומה. בנייה זו נהפכה לכלי שימושי בתכנון של רשתות מידע יעילות (קומוניקציה אלקטרונית).

עבודתו של מרגוליס מאופיינת בעומק בלתי רגיל, יכולת טכנית ושילוב מקורי של רעיונות ושיטות משטחים שונים לחלוטין במתמטיקה וארכיטקטורה שמאגדת את הכול לקראת הצורה הסופית. הפתרונות שהוא הציע לבעיות העמוקות שפתר מייצגות חשיבה מושגית חדשה ורחבה ושימושים בלתי צפויים בשטחים אחרים. הוא אחד הענקים של המתמטיקה במחצית המאה האחרונה.

מיקיו סאטו

ג'ון ט. טייט 

חזונו של פרופסור מיקיו סאטו ב"אנליזה אלגברית" ופיסיקה מתמטית פתח ענפים בסיסיים אחדים של המתמטיקה. הוא יצר את תורת ההיפר-פונקציות והמציא אנליזה מיקרו-לוקאלית שאפשרה תיאור של מבנה הסינגולריות של (היפר)-פונקציות על אגודות קוֹ-טנגנטיות. היפר-פונקציות, בצירוף לאופרטורי פוּרְיֶה אינטגרליים, הפכו למכשיר חשוב במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לא לינאריות.

יחד עם תלמידיו הוא פיתח את תורת השדה הקוואנטי ההולונומית, בספקם הרחבה מרחיקת לכת של הפורמליזם המתמטי המאחד את מודל אייזינג הדו-ממדי, ובהכניסם, בדרכם, את פונקציות טאו הידועות. הוא סיפק תיאור גיאומטרי מאוחד של משוואות סוליטונים בהקשר לפונקציות טאו ומשוואות גראסמן אינסוף-ממדיות, תיאור שהורחב על ידי ממשיכי דרכו למחלקות אחרות של משוואות, הכוללות משוואות יאנג-מילס צמודות לעצמן ומשוואות איינשטיין. הוא חלק את רעיונותיו בנדיבות עם מתמטיקאים צעירים ויצר אסכולה משגשגת של אנליזה אלגברית ביפן.

ג'ון ט. טייט 

מיקיו סאטו

במשך רבע מאה משלו בכיפה רעיונותיו של פרופסור ג'ון טייט בהתפתחות הגיאומטריה האלגברית האריתמטית. טייט הכניס טכניקות ומושגים פורצי דרך, שמהם התפתחו תיאוריות רבות החיות ומשגשגות היום. אלו כוללות את אנליזת פוריה על שדות לוקאליים וחוגי אַדֶל, קוהומולוגיַת גַלואה, תורת היריעות האנליטיות הקשיחות, חבורות מתחלקות-p ופירוקי הודג' p-אדיים ועוד. טייט שימש מקור השראה לכל העוסקים בתורת המספרים. מושגים רבים נושאים את שמו: קוהומולוגית טייט של חבורה סופית, מודול טייט של יריעה אבלית, חבורת טייט-שַפַרֶביץ´, חבורות לוּבּין-טייט, גובהי נֶרון-טייט, המוטיבים של טייט, השערת סאטו-טייט, פיתול טייט, העקום האליפטי של טייט, ואחרים.

שמו של ג'ון טייט הוא שם מכובד ביותר בתורת המספרים האלגבריים.